2. 砝码称轻重

描述：你有8个外观完全相同的球，其中有一个球的重量与其他球不同，但不知道是更重还是更轻。使用一架天平秤，如何在最少的称重次数内确定这个特殊的球？

题目分析

由于我们不知道特殊球是更重还是更轻，因此在每次称重时都要尽量获得最大的信息量，以减少后续的判断次数。关键在于合理分组，并通过天平的倾斜情况缩小范围。

解题思路

使用三分法策略，每次称重都能最大化筛选范围：

1. 每次将球分为三组：左盘、右盘、未称重组
2. 根据天平的倾斜情况，逐步缩小可能的范围
3. 最终在有限轮数内确定出特殊球及其重量差异（更重或更轻）

详细解法

第一步：第一次称重（分组称量）

将 8 个球分为三组：

• 左盘：A、B、C
• 右盘：D、E、F
• 未称重：G、H

天平可能出现的三种情况：

1. 左 = 右（平衡） → 说明 A、B、C、D、E、F 均正常，特殊球在 G 或 H 中。
2. 左 > 右（倾斜） → 说明特殊球在 A、B、C、D、E、F 之中，且要么是左盘中的某个球较重，要么是右盘中的某个球较轻。
3. 左 < 右（反向倾斜） → 同理，特殊球在 A、B、C、D、E、F 之中，且要么是左盘中的某个球较轻，要么是右盘中的某个球较重。

第二步：第二次称重（继续筛选）

根据上一次称重结果，进一步缩小范围。

• 情况 1：G、H 中有特殊球

  • 让 G 和正常球 A 进行比较。
  • 如果 G = A，则 H 是特殊球，且它要么更重要么更轻。
  • 如果 G ≠ A，则 G 是特殊球，且可以直接判断它是更重还是更轻。
  • 总计 2 次称重可确定特殊球及其重量情况。

• 情况 2/3：特殊球在 A、B、C、D、E、F 中

  • 从中取 3 个球（例如 A、B、D），放在天平两侧（A、B 在左，D 在右）。
  • 可能的情况：
    1. 天平平衡 → 说明特殊球在未称重的 C、E、F 之中。
    2. 天平倾斜 → 说明特殊球在 A、B、D 之中，并且可以根据之前的称重情况推断它是更重还是更轻。

此时，无论是哪种情况，经过 1-2 次额外称重，便可最终锁定特殊球及其重量状态。

最少称重次数

经过以上分析，最少只需要 3 次称重 即可确定特殊球及其重量情况。

归纳总结

• 核心策略：三分法，每次称重都能减少至少 1/3 的可能性。
• 最少称重次数：3 次（log₃(8) ≈ 2.89，向上取整 3）。
• 适用扩展：若有 27 个球，其中 1 个特殊球，最少需要 3 次称重（log₃(27) = 3）。

相关面试题

• 如果是 12 个球，其中 1 个特殊球，最少称重次数是多少？（答案是 3 次，使用三分法）
• 如果可以使用数字秤（可以直接称重），是否有更快的方法？
• 如果有两个特殊球，如何优化称重策略？

这个问题本质上是 信息熵最大化策略 的应用，广泛用于搜索优化、问题拆解和决策树构建，是一个经典的逻辑推理题。