3. 药瓶毒白鼠

描述：有1000瓶药水，其中仅有一瓶是有毒的。已知服用毒药后，小白鼠会在24小时内死亡。你有10只小白鼠，如何在24小时内确定哪一瓶是毒药？

题目分析

在 24 小时内，我们最多只能进行 一次实验，即每只小白鼠在实验结束后要么存活，要么死亡（两种状态）。因此，我们需要用 10 只小白鼠的死亡情况来编码并唯一确定毒药瓶号。

10 只小白鼠，每只可以有 2 种状态（生存/死亡），那么 10 只小白鼠能表示的最大编号数量为：
[ 2^{10} = 1024 ] 这足以唯一确定 1000 瓶药水中的毒药。

解决方案

核心思路：将药瓶编号转换为二进制，并利用小白鼠的生死情况来还原毒药编号。

步骤 1：药瓶编号二进制表示

将 1000 瓶药水从 1 号到 1000 号进行编号，并将编号转换为 10 位二进制数（因为 (2^{10} = 1024) 足够表示 1000 个编号）。例如：

• 1 号药瓶 → 0000000001
• 2 号药瓶 → 0000000010
• 1000 号药瓶 → 1111101000

步骤 2：小白鼠喝药

• 每个药瓶的二进制位对应一只小白鼠。
• 如果该位是 1，则给对应的小白鼠喂这一瓶药，否则不喂。
• 例如：
  • 1 号药瓶（0000000001）→ 只喂第 10 只小白鼠。
  • 2 号药瓶（0000000010）→ 只喂第 9 只小白鼠。
  • 1000 号药瓶（1111101000）→ 1-5、7 只小白鼠都会喝到这一瓶药。

步骤 3：24 小时后观察小白鼠的生死情况

• 记录哪些小白鼠死亡，哪些存活，并按 二进制位顺序 组合成一个 10 位的二进制数。
• 这个二进制数就是毒药瓶的编号。例如：
  • 如果第 1、3、5 只小白鼠死亡（其余存活），那么死亡的二进制码是 1010000000，转换成十进制就是 640，说明 640 号瓶子是毒药。

最少实验次数

整个实验 仅需 1 次（24 小时）。

方案总结

• 本质：利用二进制编码，将 10 只小白鼠的生死状态转换为唯一的药瓶编号。
• 最少实验次数：1 次（24 小时内确定唯一毒药瓶）。
• 最大可测范围：如果有 N 只小白鼠，最多可检测 (2^N - 1) 瓶药水。
• 扩展：如果允许 48 小时（即 2 轮实验），则可用 信息熵最大化策略 进一步优化可检测的瓶子数量。

相关面试题

• 如果有 2000 瓶药水，仍然只有 10 只小白鼠，如何优化实验策略？
• 如果毒药不是立即生效，而是需要 2-3 天才能导致小白鼠死亡，该如何调整策略？
• 如果能多次实验，但仍要尽快找到毒药，如何设计最优实验方案？

这个问题体现了 信息论、位运算、搜索优化 等思想，是经典的面试智力题。