海盗分金币

描述：有 5 个海盗抢到了一批金币，他们决定按以下方式分配：最年长的海盗提出一个分配方案，所有海盗（包括他自己）投票表决。如果不少于半数的海盗同意，则方案通过；否则，最年长的海盗被扔进海里，剩下的海盗继续上述过程。
已知每个海盗都是理性的，既要保命，又要追求利益最大化。请问，最年长的海盗应如何分配金币？

分析问题

• 海盗的目标：

  1. 保命：如果方案被否决，他就会被扔进海里。
  2. 利益最大化：在确保不被扔进海里的前提下，自己要尽可能多地拿到金币。

• 投票规则：

  • 方案通过的最低票数 = 总人数的一半或以上。
  • 当海盗人数是奇数时，需要 ≥ ⌊N/2⌋ + 1 票 才能通过。
  • 当海盗人数是偶数时，需要 ≥ N/2 票 才能通过。

• 逆向推理法（从少数海盗的情况推导）：

  1. 设定基础情况（少数海盗时的分配方案）。
  2. 逐步增加海盗人数，推导出当前局势下的最优方案。

逐步推导最优方案

1. 仅有 1 个海盗（P1）

• 只有他一个人，他自己全拿，没人反对。
• 方案：P1 = 100%。

2. 有 2 个海盗（P2, P1）

• P2 提出方案，P1 决定是否同意。
• P1 反对任何方案，因为如果 P2 被扔掉，P1 就能独占所有金币。
• 方案：P2 必然被扔进海里，P1 = 100%。

3. 有 3 个海盗（P3, P2, P1）

• P3 需要 2 票通过方案（≥ 3/2 = 2）。
• 如果 P3 被扔进海里，P2 直接分配，P1 依然独占所有金币（P2 被 P1 反对，P2 也会被扔掉）。
• P3 需要拉拢一个海盗支持他的方案：
  • P1 知道如果 P3 被扔掉，P2 也会被扔掉，他最终还是独占所有金币。
  • 所以，P3 给 P1 1 枚金币，P1 会投票支持。
• 方案：P3 = 99%，P2 = 0%，P1 = 1%。

4. 有 4 个海盗（P4, P3, P2, P1）

• P4 需要 2 票通过方案（≥ 4/2 = 2）。
• 如果 P4 被扔掉，P3 会按照上一轮的策略分配（P3 = 99%，P1 = 1%，P2 = 0%）。
• P4 需要拉拢一个海盗：
  • P2 在 P3 方案中什么都得不到，所以 P4 只要给 P2 1 枚金币，P2 就会投票支持 P4。
• 方案：P4 = 99%，P3 = 0%，P2 = 1%，P1 = 0%。

5. 有 5 个海盗（P5, P4, P3, P2, P1）

• P5 需要 3 票通过方案（≥ 5/2 = 3）。
• 如果 P5 被扔掉，P4 方案是（P4 = 99%，P3 = 0%，P2 = 1%，P1 = 0%）。
• P5 需要拉拢两个海盗：
  • P3 在 P4 方案中 什么都得不到，给 P3 1 枚金币，P3 就会支持 P5。
  • P1 在 P4 方案中 什么都得不到，给 P1 2 枚金币，P1 也会支持 P5。
• 最终方案：P5 = 97%，P4 = 0%，P3 = 1%，P2 = 0%，P1 = 2%。

结论

最年长的海盗（P5）应提出的分配方案：

• P5 = 97%
• P4 = 0%
• P3 = 1%
• P2 = 0%
• P1 = 2%

这样，P3 和 P1 会支持 P5，方案获得 3 票通过，P5 成功活下来 且获得最多的金币。

拓展思考

1. 如果是 6 个海盗，分配方案如何变化？

   • 需要至少 3 票支持，P6 需要贿赂 P2 和 P4 等最容易被收买的海盗。

2. 如果投票通过规则改为 3 票（无论总人数多少），该策略如何调整？

   • 需要调整贿赂策略，可能需要更少金币换取 3 票。

3. 如果金币数量不固定，而是 X 枚，该如何计算最优分配？

   • 可以建立递推公式，计算最佳分配方案。

总结

这道题考察了 逆向推理、博弈论、策略优化，是经典的智力题。
关键点：

• 从少数海盗推导，逐步递推优化方案。
• 最年长海盗必须拉拢足够多的支持者，通过巧妙分配确保自己不被扔进海里。
• 每个海盗都理性，会尽可能选择对自己最有利的策略。