8. 轮流拿石子

描述：桌上有一堆石子，两位玩家轮流从中拿取石子，每次至少拿1颗，最多拿3颗。拿到最后一颗石子的人获胜。请问先手是否有必胜策略？如果有，策略是什么？

分析问题

1. 游戏规则：

   • 两名玩家轮流拿石子。
   • 每次可以拿 1~3 颗。
   • 拿到最后一颗石子的人获胜。
   • 先手玩家希望确保自己赢得游戏。

2. 核心目标：

   • 找出 先手是否存在必胜策略。
   • 如果有，如何操作 保证必胜。

基本分析

1. 小规模情况分析

   • 1 颗石子：先手直接拿走，胜利 ✅
   • 2 颗石子：先手拿走全部，胜利 ✅
   • 3 颗石子：先手拿走全部，胜利 ✅
   • 4 颗石子：无论先手拿 1、2 或 3 颗，后手总能拿到最后一颗，因此先手 必败 ❌

2. 更大规模

   • 5 颗石子：先手拿 1 颗，剩下 4 颗，后手进入 必败 状态，先手 必胜 ✅
   • 6 颗石子：先手拿 2 颗，剩下 4 颗，后手进入 必败 状态，先手 必胜 ✅
   • 7 颗石子：先手拿 3 颗，剩下 4 颗，后手进入 必败 状态，先手 必胜 ✅
   • 8 颗石子：无论先手拿 1、2、3 颗，后手都可以让剩余的石子变成 4 颗（必败状态），所以 先手必败 ❌

由此可以发现：

• 如果石子数是 4 的倍数，则 先手必败。
• 如果石子数 不是 4 的倍数，先手总能通过拿取合适数量，使对手进入 4 的倍数状态（必败状态），从而 保证自己获胜。

结论与策略

1. 必胜条件：如果石子总数 不是 4 的倍数，先手可以 控制局势，让后手进入 4 的倍数状态，从而获胜。
2. 必败条件：如果石子总数 是 4 的倍数，先手无论如何操作，都会让对手进入 非 4 的倍数状态（必胜），所以必败。
3. 具体策略：
   • 若石子数为 4 的倍数，无论怎么拿都会输，先手必败。
   • 若石子数不是 4 的倍数，先手应该：
     • 先拿走 使剩余石子数变成 4 的倍数。
     • 例如，石子总数 N % 4 = X（1≤X≤3），先手应该 拿 X 颗，让剩余的石子变成 4 的倍数，使后手进入必败状态。

示例

• N = 10：先手应该拿 2 颗，剩下 8 颗（4 的倍数），后手必败 ✅
• N = 12：先手应该拿 0 颗、1 颗、2 颗、3 颗，无论如何都避免不了后手会进入一个非 4 倍数状态，先手必败 ❌
• N = 17：先手应该拿 1 颗，剩下 16 颗（4 的倍数），后手必败 ✅

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这道题属于 博弈论 + 数学归纳法，考察 规律发现、数学推导、策略思维。